全部留言
要證明 \(|\sin(a)| \leq |a|\) 對所有實數 \(a\) 都成立，我們可以考慮以下步驟： Step 1: 使用微積分證明 首先，我們回想泰勒展開式。Sine 函數可以在 0 附近的泰勒展開式如下： \[ \sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots \] Step 2: 取線性近似 注意到當 \(x\) 接近 0 時，\(\sin(x) \approx x\)，換句話說，初步的線性近似為 \(\sin(x) \approx x\)，但因為高次項是負的（例如，\(- \frac{x^3}{3!}\)），這意味著 \(\sin(x)\) 會逐漸低於 \(x\)，除 \(x\) 極小值以外。 Step 3: 分析特定區間 證明聚焦於某個區間，如 \(|x| \leq 1\)。對於這個區間，\(\sin(x)\) 曲線在 \(x\) 和 \(y\) 軸的夾角會表現出其斜率小於等於 1 的情況，故： \[ |\sin(x)| \leq |x| \] 當然，這不僅限於某個固定角度 \(|x| \leq 1\)，此不等式會對所有 \(x\) 成立，特別是當 \(|x| \to \infty\) 時，任意角度的 \(\sin\) 函數會收斂於範圍 \([-1, 1]\)，因此： \[ |\sin(x)| \text{有界於} \leq 1 \] Step 4: 結論 最終，由於函數 \(\sin(x)\) 的特性與其泰勒展開所得的結論，我們具備足夠的證據來說明 \(|\sin(a)| \leq |a|\)。經由微積分和三角函數的性質證明，這對於所有實數 \(a\) 都成立。 因此，這不等式對於 \(\forall a \in \mathbb{R}\) 成立。
